Ecuaciones de Segundo Grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y UNA INCÓGNITA

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax^2+bx+c=0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Como una ecuación cuadrática se presenta en su forma ax^2+bx+c=0 , donde  a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x^2+6x+10=0                   a = 9, b = 6, c = 10

3x^2-9x=0             a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

-6x+10=0      a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

2x^2+5x-3=9

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

2x^2+5x-12=0

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si 2x − 3 = 0 2x = 3 x=3/2

Si x + 4 = 0 x = −4

Ecuaciones de Primer Grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es , que no se escribe.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones  de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

2.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

3.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 5 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –5 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –5 es +5, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 5 + 5 = 53 + 5

En el primer miembro –5 se elimina con +5 y tendremos:

2x = 53 + 5

2x = 58

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  58 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 58 / 2

x = 29

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 29