INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

                                  DESIGUALDADES O INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Recordemos que una ecuación de segundo grado o cuadrática, tiene la forma (ver el tema "Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas" en este mismo blog):

ax² + bx + c = 0

Cuando el signo de igualdad de esta ecuación es reemplazado por un signo de desigualdad, se obtiene una desigualdad cuadrática. Ejemplos:

x² + 5x + 6 > 0
2x² - 7x - 8 ≤  0

Resolución de desigualdades o inecuaciones cuadráticas

La solución de una desigualdad cuadrática es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Existen varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas. Uno de los más sencillos es el que consiste en dividir en regiones la recta numérica, con los valores frontera como límites de las regiones, y probar con valores en dichas regiones para verificar si satisfacen la desigualdad.

Procedimiento para resolver desigualdades cuadráticas:

1. Escribir la desigualdad como una ecuación, y resolver ésta. Los valores obtenidos son llamados valores frontera.
2. Si la desigualdad contiene una variable en cualquier denominador, determinar el valor o valores que indeterminan la expresión.
3. Construir una recta numérica. Marcar sobre ésta cada solución determinada en el paso 1, y los valores obtenidos en el paso 2. Nos debemos asegurar de marcar estos valores de tal forma que el menor valor quede a la izquierda y el mayor a la derecha. Con esto se forman varias regiones en la recta numérica.
4. Seleccionar un valor de prueba en cada región de la recta numérica.
5. Verificar cada valor del paso 4 en la desigualdad, para determinar si satisface la desigualdad.
6. Verificar cada valor frontera y determinar si es solución de la desigualdad. No debemos olvidar que la división entre cero, no existe.
7. Escribir la solución en la forma que nos sea útil.

Ejemplo. Resolver la siguiente desigualdad:

x² + x - 12 > 0


Expresamos la desigualdad como una igualdad:

x² + x - 12 = 0

Factorizando (ver el tema "Factorización, factoración o descomposición factorial"):

(x + 4)(x - 3) = 0

Igualamos a cero cada factor y despejamos:

x + 4 = 0
x₁ = - 4

x - 3 = 0
x₂ = 3

Los valores de -4 y +3, obtenidos para x, son llamados valores frontera.

Ahora, colocaremos los valores frontera en la recta numérica:
 

   A                        B                                   C                                                              

____|____________________|________________
       -4                       0                   3


Estos valores dividen la recta numérica en tres regiones: 

Región A:  (-∞, -4)
Región B:  (-4, 3)
Región C:  (3, ∞)

A continuación, elegiremos un valor de prueba en cada región y lo sustituiremos en la desigualdad original. Determinamos si produce  una expresión verdadera; si es así, entonces todos los valores en esa región satisfacen la desigualdad; de lo contrario, ningún valor en esa región la satisface.

x² + x - 12 > 0

Para la región A, probaremos con x = -5:
(-5)² + (-5) - 12 > 0
25 - 5 - 12 > 0
8 > 0. Verdadero. Por tanto, toda la región A es parte de la solución de la desigualdad.

Para la región B, probaremos con x = 0:
(0)² + 0 - 12 > 0
0 - 12 > 0
-12 > 0. Falso. Por tanto, toda la región B no es parte de la solución de la desigualdad.

Para la región C, probaremos con x = 4:
(4)² + 4 - 12 > 0
16 + 4  - 12 > 0
8 > 0. Verdadero. Por tanto, toda la región C es parte de la solución de la desigualdad.

Como los valores de prueba en las regiones A y C, satisfacen la desigualdad, la solución consta de todos los números reales en ambas regiones.

Por último, probamos los valores frontera, para determinar si forman o no, parte de la solución.
x = -4
x² + x - 12 > 0
(-4)² + (-4) - 12 > 0
16 - 4 - 12 > 0
0 > 0. Falso. Por tanto, -4 no es parte de la solución.

x = 3
x² + x - 12 > 0
(3)² + 3 - 12 > 0
9 + 3 - 12 > 0
0 > 0. Falso. Por tanto, 3 no es parte de la solución.

Por tanto:

Solución = ]-∞, -4[ U ]3,  ∞[

Ecuaciones de Segundo Grado

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y UNA INCÓGNITA

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax^2+bx+c=0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Como una ecuación cuadrática se presenta en su forma ax^2+bx+c=0 , donde  a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x^2+6x+10=0                   a = 9, b = 6, c = 10

3x^2-9x=0             a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

-6x+10=0      a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

2x^2+5x-3=9

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

2x^2+5x-12=0

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si 2x − 3 = 0 2x = 3 x=3/2

Si x + 4 = 0 x = −4

Ecuaciones de Primer Grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es , que no se escribe.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones  de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

2.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

3.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 5 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –5 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –5 es +5, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 5 + 5 = 53 + 5

En el primer miembro –5 se elimina con +5 y tendremos:

2x = 53 + 5

2x = 58

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½   =  58 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 58 / 2

x = 29

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 29