INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

                                  DESIGUALDADES O INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Recordemos que una ecuación de segundo grado o cuadrática, tiene la forma (ver el tema "Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas" en este mismo blog):

ax² + bx + c = 0

Cuando el signo de igualdad de esta ecuación es reemplazado por un signo de desigualdad, se obtiene una desigualdad cuadrática. Ejemplos:

x² + 5x + 6 > 0
2x² - 7x - 8 ≤  0

Resolución de desigualdades o inecuaciones cuadráticas

La solución de una desigualdad cuadrática es el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad. Existen varios métodos para resolver desigualdades cuadráticas. Uno de los más sencillos es el que consiste en dividir en regiones la recta numérica, con los valores frontera como límites de las regiones, y probar con valores en dichas regiones para verificar si satisfacen la desigualdad.

Procedimiento para resolver desigualdades cuadráticas:

1. Escribir la desigualdad como una ecuación, y resolver ésta. Los valores obtenidos son llamados valores frontera.
2. Si la desigualdad contiene una variable en cualquier denominador, determinar el valor o valores que indeterminan la expresión.
3. Construir una recta numérica. Marcar sobre ésta cada solución determinada en el paso 1, y los valores obtenidos en el paso 2. Nos debemos asegurar de marcar estos valores de tal forma que el menor valor quede a la izquierda y el mayor a la derecha. Con esto se forman varias regiones en la recta numérica.
4. Seleccionar un valor de prueba en cada región de la recta numérica.
5. Verificar cada valor del paso 4 en la desigualdad, para determinar si satisface la desigualdad.
6. Verificar cada valor frontera y determinar si es solución de la desigualdad. No debemos olvidar que la división entre cero, no existe.
7. Escribir la solución en la forma que nos sea útil.

Ejemplo. Resolver la siguiente desigualdad:

x² + x - 12 > 0


Expresamos la desigualdad como una igualdad:

x² + x - 12 = 0

Factorizando (ver el tema "Factorización, factoración o descomposición factorial"):

(x + 4)(x - 3) = 0

Igualamos a cero cada factor y despejamos:

x + 4 = 0
x₁ = - 4

x - 3 = 0
x₂ = 3

Los valores de -4 y +3, obtenidos para x, son llamados valores frontera.

Ahora, colocaremos los valores frontera en la recta numérica:
 

   A                        B                                   C                                                              

____|____________________|________________
       -4                       0                   3


Estos valores dividen la recta numérica en tres regiones: 

Región A:  (-∞, -4)
Región B:  (-4, 3)
Región C:  (3, ∞)

A continuación, elegiremos un valor de prueba en cada región y lo sustituiremos en la desigualdad original. Determinamos si produce  una expresión verdadera; si es así, entonces todos los valores en esa región satisfacen la desigualdad; de lo contrario, ningún valor en esa región la satisface.

x² + x - 12 > 0

Para la región A, probaremos con x = -5:
(-5)² + (-5) - 12 > 0
25 - 5 - 12 > 0
8 > 0. Verdadero. Por tanto, toda la región A es parte de la solución de la desigualdad.

Para la región B, probaremos con x = 0:
(0)² + 0 - 12 > 0
0 - 12 > 0
-12 > 0. Falso. Por tanto, toda la región B no es parte de la solución de la desigualdad.

Para la región C, probaremos con x = 4:
(4)² + 4 - 12 > 0
16 + 4  - 12 > 0
8 > 0. Verdadero. Por tanto, toda la región C es parte de la solución de la desigualdad.

Como los valores de prueba en las regiones A y C, satisfacen la desigualdad, la solución consta de todos los números reales en ambas regiones.

Por último, probamos los valores frontera, para determinar si forman o no, parte de la solución.
x = -4
x² + x - 12 > 0
(-4)² + (-4) - 12 > 0
16 - 4 - 12 > 0
0 > 0. Falso. Por tanto, -4 no es parte de la solución.

x = 3
x² + x - 12 > 0
(3)² + 3 - 12 > 0
9 + 3 - 12 > 0
0 > 0. Falso. Por tanto, 3 no es parte de la solución.

Por tanto:

Solución = ]-∞, -4[ U ]3,  ∞[